Quy tắc tính xác suất

a)    Biến cố hợp
       Cho hai biến cố A${\displaystyle A}$ và B${\displaystyle B}$. Biến cố “A${\displaystyle A}$ hoặc B${\displaystyle B}$ xảy ra”, kí hiệu là A∪B${\displaystyle A\cup B}$, được gọi là hợp của hai biến cố A và B.


Nếu ΩA${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_A}$ và ΩB${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_B}$ lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A${\displaystyle A}$ và B${\displaystyle B}$ thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho     A∪B${\displaystyle A\cup B}$ là ΩA∪ΩB${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_A\cup {\mathrm{\Omega }}_B}$.
Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em. Gọi A là biến cố “Bạn đó là học sinh giỏi Toán” và B là biến cố “ Bạn đó là học sinh giỏi Văn”. Khi đó A∪B${\displaystyle A\cup B}$là biến cố “ Bạn đó học giỏi Văn hoặc giỏi Toán”
Tổng quát: Cho k${\displaystyle k}$biến cố A1,A2,...,Ak${\displaystyle A_{1,}{A}_2,...,A_k}$. Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố A1,A2,...,Ak${\displaystyle A_{1,}{A}_2,...,A_k}$ xảy ra”, kí hiệu là A1∪A2∪...∪Ak${\displaystyle A_1\cup A_2\cup ...\cup A_k}$, được gọi là hợp của k${\displaystyle k}$ biến cố đó.
b)  Biến cố xung khắc
Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu ΩA∩ΩB=∅${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_A\cap {\mathrm{\Omega }}_B=\mathrm{\varnothing }}$
c)  Quy tắc cộng xác suất:
Để tính xác suất của biến cố hợp, ta cần đến quy tắc cộng xác suất sau đây:
Nếu hai  biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là
P(A∪B)=P(A)+P(B)(1)${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)(1)}$
Ví dụ 3: Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ ròi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận đc là một số chẵn.
Giải:
Kết quả nhận được là số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ có it nhất một thẻ đánh số chẵn (Gọi là thẻ chẵn). Gọi A là biến cố “Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố “ Cả hai thẻ được rút là thẻ chẵn”.
Khi đó biến cố “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn” là A∪B${\displaystyle A\cup B}$.
Do hai biến cố A và B xung khắc, nên P(A∪B)=P(A)+P(B)${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$. Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên
Ta có
P(A)=C15.C14C29=2036${\displaystyle P(A)=\frac{C_5^1.C_4^1}{C_9^2}=\frac{20}{36}}$, P(B)=C24C29=636${\displaystyle P(B)=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{6}{36}}$
Do đó             P(A∪B)=2036+636=1318${\displaystyle P(A\cup B)=\frac{20}{36}+\frac{6}{36}=\frac{13}{18}}$
Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố được phát biểu như sau:
Cho k${\displaystyle k}$ biến cố A1,A2,...,Ak${\displaystyle A_{1,}{A}_2,...,A_k}$ đôi một xung khắc. Khi đó
P(A1∪A2∪...∪Ak)=P(A1)+P(A2)+...+P(Ak)(2)${\displaystyle P(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_k)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_k)(2)}$
 d)  Biến cố đối
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “ Không xảy ra A”, kí hiệu là A¯¯¯¯${\displaystyle \overline{A}}$, được gọi là biến cố đối của A.
Chú ý: Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc. Tuy nhiên hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối nhau.
Định lý:
Cho biến cố A${\displaystyle A}$. Xác suất của biến cố đối A¯¯¯¯${\displaystyle \overline{A}}$ là
P(A¯¯¯¯)=1−P(A)${\displaystyle P(\overline{A})=1-P(A)}$                                   (3)   
Ví dụ 4: Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi.
a)Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu.
b)Tính xác suất để chọn được hai viên bi khác màu.
Giải:
a)Gọi A là biến cố “chọn được 2 viên bi xanh”, B là biến cố “chọn được hai viên bi đỏ”, C là biến cố “chọn được hai viên bi vàng” và H là biến cố “Chọn được 2 viên bi cùng màu”. Ta có H=A∪B∪C${\displaystyle H=A\cup B\cup C}$ và các biến cố A,B,C đôi một xung khắc. Vậy theo công thức (2)${\displaystyle (2)}$, ta có
P(H)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)${\displaystyle P(H)=P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)}$
Ta có: P(A)=C24C29=636${\displaystyle P(A)=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{6}{36}}$,    P(B)=C23C29=336${\displaystyle P(B)=\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{3}{36}}$,      P(C)=C22C29=136${\displaystyle P(C)=\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{1}{36}}$
Vậy  P(H)=636+336+136=518${\displaystyle P(H)=\frac{6}{36}+\frac{3}{36}+\frac{1}{36}=\frac{5}{18}}$
b)    Biến cố “Chọn được 2 viên bi khác màu” chính là biến cố H¯¯¯¯¯${\displaystyle \overline{H}}$. Vậy theo công thức (3)${\displaystyle (3)}$, ta có:
P(H¯¯¯¯¯)=1−P(H)=1−518=1318.${\displaystyle P(\overline{H})=1-P(H)=1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}.}$
2.Quy tắc nhân xác suất:
a) Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB${\displaystyle AB}$, được gọi là giao của hai biến cố A và B.
Cho k${\displaystyle k}$ biến cố A1,,A2,...,Ak${\displaystyle A_{1,},A_2,...,A_k}$. Biến cố “Tất cả k${\displaystyle k}$ biến cố A1,A2,...,Ak${\displaystyle A_{1,}{A}_2,...,A_k}$ đều xảy ra”, kí hiệu là A1,A2...Ak${\displaystyle A_{1,}{A}_2...A_k}$, được gọi là giao của k${\displaystyle k}$ biến cố đó.
b) Biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
Cho k${\displaystyle k}$ biến cố A1,,A2,...,Ak${\displaystyle A_{1,},A_2,...,A_k}$, k${\displaystyle k}$ biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi nhóm biến cố tùy ý trong các biến cố đã cho không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại
c)    Quy tắc nhân xác suất
Để tính xác suất của biến cố giao, ta cần đến quy tắc nhân xác suất sau đây
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
P(AB)=P(A)P(B)(4)${\displaystyle P(AB)=P(A)P(B)(4)}$
Nhận xét: Từ quy tắc nhân xác suất ta thấy: Nếu P(AB)≠P(A)P(B)${\displaystyle P(AB)\ne P(A)P(B)}$thì hai biến cố A,B không độc lập với nhau. Ngược lại nếu có (4)${\displaystyle (4)}$ thì A và B là hai biến cố độc lập với nhau.
•    Quy tắc nhân cho nhiều biến cố:
Nếu k${\displaystyle k}$ biến cố A1,,A2,...,Ak${\displaystyle A_{1,},A_2,...,A_k}$ độc lập với nhau thì P(A1A2...Ak)=P(A1)P(A2)...P(Ak)(5)${\displaystyle P(A_1{A}_2...A_k)=P(A_1)P(A_2)...P(A_k)(5)}$